Système d'alarme d'une usine

Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :

• la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est égale à  \(\dfrac{1}{50}\)  ;
  
• la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale à  \(\dfrac{1}{500}\)  ;
  
• la probabilité qu'un incident se produise est égale à  \(\dfrac{1}{100}\) .
  

On pourra noter :

• \(\text A\)  l'événement « L'alarme se déclenche » ;
  
• \(\text I\)  l'événement « Un incident se produit ».
  

Ainsi, par exemple,  \(\text A \cap\text I\)  représente l'événement « L'alarme se déclenche sans qu'il y ait incident ».

Partie A

1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se déclenche. En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche.

2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ?

3. L'alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ?

Partie B

Les assureurs estiment que, en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant :

• \(1\, 000\)  euros pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ;
  
• \(3\, 000\)  euros pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ;
  
• \(200\)  euros lorsque l'alarme se déclenche par erreur.
  

On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour. Soit \(X\)  la variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise.

1. Donner la loi de probabilité de \(X\) .

2. Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?

Exercice du baccalauréat, Centres étrangers, 1997